文章編號:5474時間:2024-09-13人氣:
我們選擇 $x = 2 \sin \theta$。
步驟 3:化簡被積分表達式
利用三角恒等式,我們有:$$\begin{split} \sqrt{4 - x^2} &= \sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2} \\ &= \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} \\ &= 2 \cos \theta \end{split}$$
$$\begin{split} dx &= \fracpxfl5hz{dx}(2 \sin \theta) \, d\theta \\ &= 2 \cos \theta \, d\theta \end{split}$$ 因此,被積分表達式變為:$$2 \cos^2 \theta \, d\theta$$步驟 4:計算積分使用三角函數積分公式,我們得到:$$\int 2 \cos^2 \theta \, d\theta = \theta + \sin \theta + C$$
步驟 5:將新變量代回原積分式最后,我們將 $\theta$ 代回原積分式,得到:$$\int \sqrt{4 - x^2} \, dx = \arcsin \frac{x}{2} + \sin\left(\arcsin \frac{x}{2}\right) + C$$
其中 $C$ 是積分常數。
三角代換是一種強大的技巧,可以在解決三角函數積分時顯著簡化積分過程。通過理解三角代換的原理和步驟,以及熟記一些常用的積分公式,我們可以輕松地處理各種復雜的三角函數積分。
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