：選擇三角代換

我們選擇 $x = 2 \sin \theta$。

步驟 3：化簡被積分表達式

利用三角恒等式，我們有：$$\begin{split} \sqrt{4 - x^2} &= \sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2} \\ &= \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} \\ &= 2 \cos \theta \end{split}$$

$$\begin{split} dx &= \fracpxfl5hz{dx}(2 \sin \theta) \, d\theta \\ &= 2 \cos \theta \, d\theta \end{split}$$ 因此，被積分表達式變為：$$2 \cos^2 \theta \, d\theta$$步驟 4：計算積分

使用三角函數積分公式，我們得到：$$\int 2 \cos^2 \theta \, d\theta = \theta + \sin \theta + C$$

步驟 5：將新變量代回原積分式

最后，我們將 $\theta$ 代回原積分式，得到：$$\int \sqrt{4 - x^2} \, dx = \arcsin \frac{x}{2} + \sin\left(\arcsin \frac{x}{2}\right) + C$$

其中 $C$ 是積分常數。

結論

三角代換是一種強大的技巧，可以在解決三角函數積分時顯著簡化積分過程。通過理解三角代換的原理和步驟，以及熟記一些常用的積分公式，我們可以輕松地處理各種復雜的三角函數積分。

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